Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$

Schritt 1

Setze $4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$ gleich $0$ .

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 28 x^{3} + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 28 x^{3} + 7 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 28 x^{3}$ heraus.

$- 7 x (4 x^{2}) + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $7 x$ heraus.

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x (4 x^{2}) - 7 x (- 1)$ heraus.

$- 7 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$- 7 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.1.7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 u - 12 = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ und deren Summe gleich $b = 47$ ist.

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Schritt 2.1.8.1.1

Faktorisiere $47$ aus $47 u$ heraus.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 (u) - 12 = 0$

Schritt 2.1.8.1.2

Schreibe $47$ um als $- 1$ plus $48$

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 48) u - 12 = 0$

Schritt 2.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Schritt 2.1.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Schritt 2.1.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 12 (4 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 12) = 0$

Schritt 2.1.9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.10

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.11

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ heraus.

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Schritt 2.1.13.1

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ heraus.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ heraus.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.14

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $- 7 u + u^{2} + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.15.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.16.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4, 3$

Schritt 3