Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 14 x^{2} - 28 x + 24$

Schritt 1

Setze $2 x^{4} - 7 x^{3} + 14 x^{2} - 28 x + 24$ gleich $0$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 14 x^{2} - 28 x + 24 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 7 x^{3} + 14 x^{2} + 2 x^{4} - 28 x + 24 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 7 x^{2}$ aus $- 7 x^{3} + 14 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 7 x^{2}$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$- 7 x^{2} x + 14 x^{2} + 2 x^{4} - 28 x + 24 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 7 x^{2}$ aus $14 x^{2}$ heraus.

$- 7 x^{2} x - 7 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{4} - 28 x + 24 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 7 x^{2}$ aus $- 7 x^{2} (x) - 7 x^{2} (- 2)$ heraus.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 x^{4} - 28 x + 24 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} - 28 x + 24$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 (x^{4}) - 28 x + 24 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 28 x$ heraus.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 (x^{4}) + 2 (- 14 x) + 24 = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 x^{4} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 12 = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 2 (- 14 x)$ heraus.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 (x^{4} - 14 x) + 2 \cdot 12 = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} - 14 x) + 2 \cdot 12$ heraus.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 (x^{4} - 14 x + 12) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x^{4} - 14 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.1.4.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.4.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{4} - 14 \cdot 2 + 12$

Schritt 2.1.4.1.3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 14 \cdot 2 + 12$

Schritt 2.1.4.1.3.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$16 - 28 + 12$

Schritt 2.1.4.1.3.4

Subtrahiere $28$ von $16$ .

$- 12 + 12$

Schritt 2.1.4.1.3.5

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 2.1.4.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 14 x + 12}{x - 2}$

Schritt 2.1.4.1.5

Dividiere $x^{4} - 14 x + 12$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.1.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

Schritt 2.1.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

Schritt 2.1.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

Schritt 2.1.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

Schritt 2.1.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 8 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

Schritt 2.1.4.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

$12$

Schritt 2.1.4.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

$12$

Schritt 2.1.4.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

$12$

$6 x$

$12$

Schritt 2.1.4.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x + 12$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

$12$

$6 x$

$12$

Schritt 2.1.4.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

$12$

$6 x$

$12$

$0$

Schritt 2.1.4.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6$

Schritt 2.1.4.1.6

Schreibe $x^{4} - 14 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 ((x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 7 x^{2} (x - 2) + 2 (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x - 2$ aus $- 7 x^{2} (x - 2) + 2 (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6)$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $- 7 x^{2} (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) (- 7 x^{2}) + 2 (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $2 (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6)$ heraus.

$(x - 2) (- 7 x^{2}) + (x - 2) (2 (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (- 7 x^{2}) + (x - 2) (2 (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6))$ heraus.

$(x - 2) (- 7 x^{2} + 2 (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (- 7 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (2 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (- 7 x^{2} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(x - 2) (- 7 x^{2} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$(x - 2) (- 7 x^{2} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x - 12) = 0$

Schritt 2.1.8

Addiere $- 7 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.9.1

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.9.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.9.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 2) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 8 x - 12) = 0$

Schritt 2.1.9.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 2) (x^{2} (2 x - 3) + 4 (2 x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(x - 2) ((2 x - 3) (x^{2} + 4)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (2 x - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.5.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 2.5.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (2 x - 3) (x^{2} + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, \frac{3}{2}, 2 i, - 2 i$

Schritt 3