Elementarmathematik Beispiele

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 5) (x + 2)}{(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2

Setze $3 x^{2} - 13 x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $3 x^{2} - 13 x - 10$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

Schritt 2.2.2

Löse $3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 13$ um als $2$ plus $- 15$

$3 x^{2} + (2 - 15) x - 10 = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 2 x - 15 x - 10 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 2 x) - 15 x - 10 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 2) - 5 (3 x + 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 5) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.3.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.2.2.3.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.2.2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.2.2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 5$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 5, - 2$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - \frac{2}{3}, - 2, 5}$

Schritt 4