Elementarmathematik Beispiele

$\frac{(\sqrt{x^{2} - 16})}{(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1})}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 16}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 16 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $16$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 16$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{16}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{16}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 4 |$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$| x | \geq 4$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | \geq 4$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 4$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 4$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 4$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 4$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$x \leq - 4$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 4$ oder $x \geq 4$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x^{2} - 16}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 4, x \geq 4}$

Schritt 8