Elementarmathematik Beispiele

$\sin (\sin^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\sin (\sin^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$u \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, v)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\tan^{-1} (v)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, v)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\tan^{-1} (v))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{1 + v^{2}}$ mit $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{1 + v^{2}}$ mit $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ als $1 + v^{2}$ um.

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Schritt 2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + v^{2}}$ als ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4.6.5

Vereinfache.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $u$ und $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.6

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\sin^{-1} (u)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\sin^{-1} (u))$ $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1 - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1^{2} - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = u$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sin (\tan^{-1} (v))$

Schritt 2.1.9

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, v)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\tan^{-1} (v)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, v)$ verläuft. Folglich ist $\sin (\tan^{-1} (v))$ $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Schritt 2.1.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.11.1

Mutltipliziere $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Schritt 2.1.11.2

Potenziere $\sqrt{1 + v^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Schritt 2.1.11.3

Potenziere $\sqrt{1 + v^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Schritt 2.1.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.1.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.1.11.6

Schreibe ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ als $1 + v^{2}$ um.

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Schritt 2.1.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + v^{2}}$ als ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.1.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.1.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Schritt 2.1.11.6.5

Vereinfache.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $- \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

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Schritt 2.1.12.1

Kombiniere $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ und $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{1 + v^{2}}$

Schritt 2.1.12.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}} - v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$