Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} - 5 x y + 16 y^{2} - 32 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = - 5 x$ und $c = 4 x^{2} - 32$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{5 x \pm \sqrt{{(- 5 x)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (4 x^{2} - 32))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 x$ an.

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 64 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 64 (4 x^{2}) - 64 \cdot - 32}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 64$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 256 x^{2} - 64 \cdot - 32}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 32$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 256 x^{2} + 2048}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.1.7

Subtrahiere $256 x^{2}$ von $25 x^{2}$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 x$ an.

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 64 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 64 (4 x^{2}) - 64 \cdot - 32}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 64$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 256 x^{2} - 64 \cdot - 32}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 32$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 256 x^{2} + 2048}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.1.7

Subtrahiere $256 x^{2}$ von $25 x^{2}$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 1.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{5 x + \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 x$ an.

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 64 \cdot (4 x^{2} - 32)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 64 (4 x^{2}) - 64 \cdot - 32}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 64$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 256 x^{2} - 64 \cdot - 32}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.6

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 32$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{25 x^{2} - 256 x^{2} + 2048}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.1.7

Subtrahiere $256 x^{2}$ von $25 x^{2}$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{5 x \pm \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{5 x - \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{5 x + \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

$y = \frac{5 x - \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

$y = \frac{5 x + \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

$y = \frac{5 x - \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{5 x + \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{5 x}{32} + \frac{\sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

$y = \frac{5 x - \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 4

Zerlege den Bruch $\frac{5 x - \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{5 x}{32} + \frac{\sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

$y = \frac{5 x}{32} + \frac{- \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{32} + \frac{\sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

$y = \frac{5 x}{32} - \frac{\sqrt{- 231 x^{2} + 2048}}{32}$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{5}{32} x + \frac{1}{32} \cdot \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}$

$y = \frac{5}{32} x - (\frac{1}{32} \cdot \sqrt{- 231 x^{2} + 2048})$

Schritt 7

Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{32} x + \frac{1}{32} \cdot \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}$

$y = \frac{5}{32} x - \frac{1}{32} \cdot \sqrt{- 231 x^{2} + 2048}$

Schritt 8