Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} - 4 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 4$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ ein.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Schritt 3

Setze $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ für $4 x^{2} - 4 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 6 y = - 17$

Schritt 4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 6 y = - 17 + 1$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 y^{2} + 6 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 6$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 4)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{- 4}$

Schritt 5.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{4}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 16}$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $- 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 (9)}{- 16}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Schritt 5.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Schritt 5.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{9}{- 4}$

Schritt 5.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{9}{4}$

Schritt 5.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{9}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{4})$

Schritt 5.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{9}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{9}{4}$ .

$e = \frac{9}{4}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ ein.

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 6

Setze $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ für $- 4 y^{2} + 6 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4} = - 17 + 1$

Schritt 7

Bringe $\frac{9}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{4}$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - 17 + 1 - \frac{9}{4}$

Schritt 8

Vereinfache $- 17 + 1 - \frac{9}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Schreibe $- 17$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} + 1 - \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\frac{- 17}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{- 17}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} - \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4 + 4 - 9}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 17$ mit $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 68 + 4 - 9}{4}$

Schritt 8.3.2

Addiere $- 68$ und $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 64 - 9}{4}$

Schritt 8.3.3

Subtrahiere $9$ von $- 64$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 73}{4}$

Schritt 8.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{73}{4}$

Schritt 9

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{73}{4}$

Schritt 10

Teile jeden Term durch $\frac{73}{4}$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{4}} + \frac{4 {(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{4}} = \frac{\frac{73}{4}}{\frac{73}{4}}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{16}} - \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{16}} = 1$