Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

Schritt 1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 12$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 4 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 2.3.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 2)}^{2} - 4$ ein.

${(x - 2)}^{2} - 4$

Schritt 3

Setze ${(x - 2)}^{2} - 4$ für $x^{2} - 4 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 12$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 6 y = 12$

Schritt 4

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + 6 y = 12 + 4$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 6 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 3)}^{2} - 9$ ein.

${(y + 3)}^{2} - 9$

Schritt 6

Setze ${(y + 3)}^{2} - 9$ für $y^{2} + 6 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 12$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = 12 + 4$

Schritt 7

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 12 + 4 + 9$

Schritt 8

Vereinfache $12 + 4 + 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $12$ und $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 16 + 9$

Schritt 8.2

Addiere $16$ und $9$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 25$