Elementarmathematik Beispiele

$x + 4 = 4 y^{2} - 16 y$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $4 y^{2} - 16 y = x + 4$ um.

$4 y^{2} - 16 y = x + 4$

Schritt 1.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 16 y - x = 4$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 16 y - x - 4 = 0$

Schritt 1.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 16$ und $c = - x - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (- x - 4))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (- x) - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 16 x - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 16 x + 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6

Addiere $256$ und $64$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 320$ heraus.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (x) + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $320$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot 20$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $16 (x + 20)$ als ${(2^{2})}^{2} (x + 20)$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{x + 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{8}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (- x) - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 16 x - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 16 x + 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.6

Addiere $256$ und $64$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 320$ heraus.

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Schritt 1.6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (x) + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $320$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot 20$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.8

Schreibe $16 (x + 20)$ als ${(2^{2})}^{2} (x + 20)$ um.

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Schritt 1.6.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{x + 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{8}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 1.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (- x) - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 16 x - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 16 x + 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.6

Addiere $256$ und $64$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 320$ heraus.

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Schritt 1.7.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (x) + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $320$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot 20$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.8

Schreibe $16 (x + 20)$ als ${(2^{2})}^{2} (x + 20)$ um.

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Schritt 1.7.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{x + 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{8}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{x + 20}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 1.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 1.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{4 + \sqrt{x + 20}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{x + 20}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{x + 20}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{4 + \sqrt{x + 20}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{4}{2} + \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = 2 + \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 5

Zerlege den Bruch $\frac{4 - \sqrt{x + 20}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = 2 + \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

$y = \frac{4}{2} + \frac{- \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = 2 + \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

$y = 2 + \frac{- \sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 + \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

$y = 2 - \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

$y = 2 + \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

$y = 2 - \frac{\sqrt{x + 20}}{2}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$y = 2 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 20}$

$y = 2 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 20})$

Schritt 8

Entferne die Klammern.

$y = 2 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 20}$

$y = 2 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 20}$

Schritt 9