Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} + 12 x + 6 y - 51 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 12 x - 51$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (12 x - 51))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (12 x - 51)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (12 x - 51)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 (12 x) - 4 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 48 x - 4 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 51$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 48 x + 204}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6

Addiere $36$ und $204$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 48 x + 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x + 240$ heraus.

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Schritt 1.3.1.7.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x) + 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7.2

Faktorisiere $48$ aus $240$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x) + 48 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7.3

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x) + 48 (5)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $48 (- x + 5)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (12 x - 51)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (12 x - 51)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 (12 x) - 4 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 48 x - 4 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 51$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 48 x + 204}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Addiere $36$ und $204$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 48 x + 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x + 240$ heraus.

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Schritt 1.4.1.7.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x) + 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7.2

Faktorisiere $48$ aus $240$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x) + 48 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7.3

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x) + 48 (5)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $48 (- x + 5)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (12 x - 51)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (12 x - 51)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 (12 x) - 4 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 48 x - 4 \cdot - 51}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 51$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 48 x + 204}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Addiere $36$ und $204$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 48 x + 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x + 240$ heraus.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x) + 240}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7.2

Faktorisiere $48$ aus $240$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x) + 48 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7.3

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x) + 48 (5)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $48 (- x + 5)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 5)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Die Standardform ist $- 3 + 2 \sqrt{3 (- x + 5)}, - 3 - 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$ .

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (- x + 5)}$

Schritt 4