Elementarmathematik Beispiele

$(6, 0)$ , $(2, - 7)$

Schritt 1

Der Durchmesser eines Kreises ist jede gerade Strecke, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht und deren Endpunkte auf dem Umfang des Kreises liegen. Die gegebenen Endpunkte des Durchmessers sind $(6, 0)$ und $(2, - 7)$ . Der Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt des Durchmessers, welcher der Mittelpunkt zwischen $(6, 0)$ und $(2, - 7)$ ist. In diesem Fall ist der Mittelpunkt $(4, - \frac{7}{2})$ .

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Schritt 1.1

Wende die Mittelpunktsformel an, um den Mittelpunkt des Liniensegments zu bestimmen.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Schritt 1.2

Setze die Werte für $(x_{1}, y_{1})$ und $(x_{2}, y_{2})$ ein.

$(\frac{6 + 2}{2}, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + 2$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$(\frac{2 \cdot 3 + 2}{2}, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 1}{2}, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3 + 2 \cdot 1$ heraus.

$(\frac{2 \cdot (3 + 1)}{2}, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(\frac{2 \cdot (3 + 1)}{2 (1)}, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{2 \cdot (3 + 1)}{2 \cdot 1}, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{3 + 1}{1}, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.3.4.4

Dividiere $3 + 1$ durch $1$ .

$(3 + 1, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.4

Addiere $3$ und $1$ .

$(4, \frac{0 - 7}{2})$

Schritt 1.5

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$(4, \frac{- 7}{2})$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4, - \frac{7}{2})$

Schritt 2

Bestimme den Radius $r$ für den Kreis. Der Radius ist jede Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Umfang. In diesem Fall ist $r$ der Abstand zwischen $(4, - \frac{7}{2})$ und $(6, 0)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$r = \sqrt{{(6 - 4)}^{2} + {(0 - (- \frac{7}{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$r = \sqrt{2^{2} + {(0 - (- \frac{7}{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + {(0 - (- \frac{7}{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- (- \frac{7}{2})$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = \sqrt{4 + {(0 + 1 (\frac{7}{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{4 + {(0 + \frac{7}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Addiere $0$ und $\frac{7}{2}$ .

$r = \sqrt{4 + {(\frac{7}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$r = \sqrt{4 + \frac{7^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.3.6

Potenziere $7$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{49}{2^{2}}}$

Schritt 2.3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{49}{4}}$

Schritt 2.3.8

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{49}{4}}$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{49}{4}}$

Schritt 2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 4 + 49}{4}}$

Schritt 2.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$r = \sqrt{\frac{16 + 49}{4}}$

Schritt 2.3.11.2

Addiere $16$ und $49$ .

$r = \sqrt{\frac{65}{4}}$

Schritt 2.3.12

Schreibe $\sqrt{\frac{65}{4}}$ als $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{4}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.3.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.13.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.3.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{65}}{2}$

Schritt 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ ist die Form der Gleichung für einen Kreis mit Radius $r$ und $(h, k)$ als Mittelpunkt. In diesem Fall ist $r = \frac{\sqrt{65}}{2}$ und der Mittelpunkt ist $(4, - \frac{7}{2})$ . Die Kreisgleichung lautet ${(x - (4))}^{2} + {(y - (- \frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{65}}{2})}^{2}$ .

${(x - (4))}^{2} + {(y - (- \frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{65}}{2})}^{2}$

Schritt 4

Die Kreisgleichung ist ${(x - 4)}^{2} + {(y + \frac{7}{2})}^{2} = \frac{65}{4}$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + \frac{7}{2})}^{2} = \frac{65}{4}$

Schritt 5