Elementarmathematik Beispiele

$3 z^{2} + z = 4$

Schritt 1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 z^{2} + z - 4 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 z^{2} + 1 z - 4 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$3 z^{2} + (- 3 + 4) z - 4 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 z^{2} - 3 z + 4 z - 4 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 z^{2} - 3 z) + 4 z - 4 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 z (z - 1) + 4 (z - 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $z - 1$ .

$(z - 1) (3 z + 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z - 1 = 0$

$3 z + 4 = 0$

Schritt 4

Setze $z - 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $z - 1$ gleich $0$ .

$z - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 1$

Schritt 5

Setze $3 z + 4$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 z + 4$ gleich $0$ .

$3 z + 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 z + 4 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 z = - 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 z = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 z = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 z}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{4}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z - 1) (3 z + 4) = 0$ wahr machen.

$z = 1, - \frac{4}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = 1, - \frac{4}{3}$

Dezimalform:

$z = 1, - 1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$z = 1, - 1 \frac{1}{3}$