Elementarmathematik Beispiele

$16 z^{2} + 62 = 64 z$

Schritt 1

Subtrahiere $64 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 z^{2} + 62 - 64 z = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $16 z^{2} + 62 - 64 z$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16 z^{2}$ heraus.

$2 (8 z^{2}) + 62 - 64 z = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $62$ heraus.

$2 (8 z^{2}) + 2 (31) - 64 z = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 64 z$ heraus.

$2 (8 z^{2}) + 2 (31) + 2 (- 32 z) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 z^{2}) + 2 (31)$ heraus.

$2 (8 z^{2} + 31) + 2 (- 32 z) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 z^{2} + 31) + 2 (- 32 z)$ heraus.

$2 (8 z^{2} + 31 - 32 z) = 0$

Schritt 2.2

Stelle die Terme um.

$2 (8 z^{2} - 32 z + 31) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 (8 z^{2} - 32 z + 31) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (8 z^{2} - 32 z + 31) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (8 z^{2} - 32 z + 31)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (8 z^{2} - 32 z + 31)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $8 z^{2} - 32 z + 31$ durch $1$ .

$8 z^{2} - 32 z + 31 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$8 z^{2} - 32 z + 31 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 32$ und $c = 31$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 31)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$z = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 8 \cdot 31}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 31$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$z = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 32 \cdot 31}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $31$ .

$z = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 992}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $992$ von $1024$ .

$z = \frac{32 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$z = \frac{32 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$z = \frac{32 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{32 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$z = \frac{32 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{32 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{2}}{4}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{8 + \sqrt{2}}{4}, \frac{8 - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = \frac{8 + \sqrt{2}}{4}, \frac{8 - \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$z = 2.35355339 \dots, 1.64644660 \dots$