Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{5 y - 15} = y - 3$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 y - 15}}^{2} = {(y - 3)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 y - 15}$ als ${(5 y - 15)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 y - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 3)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(5 y - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 y - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 y - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 y - 15)}^{1} = {(y - 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$5 y - 15 = {(y - 3)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(y - 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$5 y - 15 = (y - 3) (y - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y - 15 = y (y - 3) - 3 (y - 3)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y - 15 = y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y - 15 = y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$5 y - 15 = y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$5 y - 15 = y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$5 y - 15 = y^{2} - 3 y - 3 y + 9$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$5 y - 15 = y^{2} - 6 y + 9$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y^{2} - 6 y + 9 = 5 y - 15$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 6 y + 9 - 5 y = - 15$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5 y$ von $- 6 y$ .

$y^{2} - 11 y + 9 = - 15$

Schritt 3.3

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 11 y + 9 + 15 = 0$

Schritt 3.4

Addiere $9$ und $15$ .

$y^{2} - 11 y + 24 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $y^{2} - 11 y + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 8, - 3$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y - 8) (y - 3) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 8 = 0$

$y - 3 = 0$

Schritt 3.7

Setze $y - 8$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $y - 8$ gleich $0$ .

$y - 8 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8$

Schritt 3.8

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 8) (y - 3) = 0$ wahr machen.

$y = 8, 3$