Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{5 y + 4} + 2 = y$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 y + 4} = y - 2$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 y + 4}}^{2} = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 y + 4}$ als ${(5 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(5 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 y + 4)}^{1} = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$5 y + 4 = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(y - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(y - 2)}^{2}$ als $(y - 2) (y - 2)$ um.

$5 y + 4 = (y - 2) (y - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(y - 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y + 4 = y (y - 2) - 2 (y - 2)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y + 4 = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y + 4 = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$5 y + 4 = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$5 y + 4 = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$5 y + 4 = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 2 y$ .

$5 y + 4 = y^{2} - 4 y + 4$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y^{2} - 4 y + 4 = 5 y + 4$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y + 4 - 5 y = 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5 y$ von $- 4 y$ .

$y^{2} - 9 y + 4 = 4$

Schritt 4.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 9 y + 4 - 4 = 0$

Schritt 4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - 9 y + 4 - 4$ .

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y^{2} - 9 y + 0 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $y^{2} - 9 y$ und $0$ .

$y^{2} - 9 y = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - 9 y$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \cdot y - 9 y = 0$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$y \cdot y + y \cdot - 9 = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y \cdot - 9$ heraus.

$y (y - 9) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Schritt 4.7

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 4.8

Setze $y - 9$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $y - 9$ gleich $0$ .

$y - 9 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (y - 9) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 9$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{5 y + 4} + 2 = y$ nicht erfüllen.

$y = 9$