Elementarmathematik Beispiele

${(2 m + 12)}^{2} + {(3 m)}^{2} = 5 m^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $3 m$ an.

${(2 m + 12)}^{2} + 3^{2} m^{2} = 5 m^{2}$

Schritt 1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(2 m + 12)}^{2} + 9 m^{2} = 5 m^{2}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $m$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $5 m^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(2 m + 12)}^{2} + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(2 m + 12)}^{2}$ als $(2 m + 12) (2 m + 12)$ um.

$(2 m + 12) (2 m + 12) + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(2 m + 12) (2 m + 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m + 12) + 12 (2 m + 12) + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m + 12) + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Bewege $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$4 m^{2} + 24 m + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$4 m^{2} + 24 m + 24 m + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.6

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$4 m^{2} + 24 m + 24 m + 144 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $24 m$ und $24 m$ .

$4 m^{2} + 48 m + 144 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.3

Addiere $4 m^{2}$ und $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 48 m + 144 - 5 m^{2} = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $5 m^{2}$ von $13 m^{2}$ .

$8 m^{2} + 48 m + 144 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $8$ aus $8 m^{2} + 48 m + 144$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $8$ aus $8 m^{2}$ heraus.

$8 (m^{2}) + 48 m + 144 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $8$ aus $48 m$ heraus.

$8 (m^{2}) + 8 (6 m) + 144 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $8$ aus $144$ heraus.

$8 m^{2} + 8 (6 m) + 8 \cdot 18 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $8$ aus $8 m^{2} + 8 (6 m)$ heraus.

$8 (m^{2} + 6 m) + 8 \cdot 18 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (m^{2} + 6 m) + 8 \cdot 18$ heraus.

$8 (m^{2} + 6 m + 18) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $8 (m^{2} + 6 m + 18) = 0$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (m^{2} + 6 m + 18) = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 (m^{2} + 6 m + 18)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (m^{2} + 6 m + 18)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $m^{2} + 6 m + 18$ durch $1$ .

$m^{2} + 6 m + 18 = \frac{0}{8}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$m^{2} + 6 m + 18 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 18$ in die Quadratformel ein und löse nach $m$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $18$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $72$ von $36$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$m = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$m = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \frac{- 6 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$m = \frac{- 6 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = \frac{- 6 \pm 6 i}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 6 i}{2}$ .

$m = - 3 \pm 3 i$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$m = - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$