Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3}{5} k^{2} - k - \frac{10}{3} = 0$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $k^{2}$ .

$\frac{3 k^{2}}{5} - k - \frac{10}{3} = 0$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 k^{2}}{5} - k - \frac{10}{3} = 0$ mit $15$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 k^{2}}{5} - k - \frac{10}{3} = 0$ mit $15$ .

$\frac{3 k^{2}}{5} \cdot 15 - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 k^{2}}{5} \cdot (5 (3)) - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 k^{2}}{5} \cdot (5 \cdot 3) - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 k^{2} \cdot 3 - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 k^{2} - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$9 k^{2} - 15 k - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10}{3}$ in den Zähler.

$9 k^{2} - 15 k + \frac{- 10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$9 k^{2} - 15 k + \frac{- 10}{3} \cdot (3 (5)) = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 k^{2} - 15 k + \frac{- 10}{3} \cdot (3 \cdot 5) = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$9 k^{2} - 15 k - 10 \cdot 5 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$9 k^{2} - 15 k - 50 = 0 \cdot 15$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $15$ .

$9 k^{2} - 15 k - 50 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 50 = - 450$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 k$ heraus.

$9 k^{2} - 15 k - 50 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 15$ um als $15$ plus $- 30$

$9 k^{2} + (15 - 30) k - 50 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 k^{2} + 15 k - 30 k - 50 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 k^{2} + 15 k) - 30 k - 50 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 k (3 k + 5) - 10 (3 k + 5) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 k + 5$ .

$(3 k + 5) (3 k - 10) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 k + 5 = 0$

$3 k - 10 = 0$

Schritt 5

Setze $3 k + 5$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 k + 5$ gleich $0$ .

$3 k + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 k + 5 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 k = - 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 k = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 k = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 k}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{5}{3}$

Schritt 6

Setze $3 k - 10$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 k - 10$ gleich $0$ .

$3 k - 10 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 k - 10 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 k = 10$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 k = 10$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 k = 10$ durch $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 k}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{10}{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 k + 5) (3 k - 10) = 0$ wahr machen.

$k = - \frac{5}{3}, \frac{10}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$k = - \frac{5}{3}, \frac{10}{3}$

Dezimalform:

$k = - 1.\overline{6}, 3.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$k = - 1 \frac{2}{3}, 3 \frac{1}{3}$