Elementarmathematik Beispiele

$s (t) = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, (t - 4) (t - 8)$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(t - 4) (t - 8)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ mit $(t - 4) (t - 8)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ mit $(t - 4) (t - 8)$ .

$s t ((t - 4) (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $(t - 4) (t - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$s t (t (t - 8) - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$s t (t^{2} + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.2.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $t$ .

$s t (t^{2} - 8 \cdot t - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$s t (t^{2} - 8 t - 4 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $4 t$ von $- 8 t$ .

$s t (t^{2} - 12 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$s t \cdot t^{2} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$s (t^{2} t) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.4.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.2.4.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$s (t^{2} t^{1}) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s t^{2 + 1} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$s t^{3} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.4.3

Bringe $32$ auf die linke Seite von $s t$ .

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.1

Bewege $t$ .

$s t^{3} - 12 s (t \cdot t) + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(t - 4) (t - 8)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ in den Zähler.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - 7 t$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $7 t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $t$ aus $s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $t$ aus $s t^{3}$ heraus.

$t (s t^{2}) - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $t$ aus $- 12 s t^{2}$ heraus.

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + 32 s t + 7 t = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $t$ aus $32 s t$ heraus.

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + 7 t = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $t$ aus $7 t$ heraus.

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $t$ aus $t (s t^{2}) + t (- 12 s t)$ heraus.

$t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Schritt 4.2.6

Faktorisiere $t$ aus $t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s)$ heraus.

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7 = 0$

Schritt 4.2.7

Faktorisiere $t$ aus $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7$ heraus.

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Schritt 4.4

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 4.5

Setze $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ gleich $0$ .

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5.2.2

Setze die Werte $a = s$ , $b = - 12 s$ und $c = 32 s + 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.3.1.1

Füge Klammern hinzu.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.2

Es sei $u = s \cdot (32 s + 7)$ . Ersetze $u$ für alle $s \cdot (32 s + 7)$ .

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Schritt 4.5.2.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 12 s$ an.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} s^{2} - 4 \cdot u}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.2.2

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{144 s^{2} - 4 u}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $144 s^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $144 s^{2}$ heraus.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) - 4 u}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) + 4 (- u)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (36 s^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - u)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.4

Ersetze alle $u$ durch $s \cdot (32 s + 7)$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s \cdot (32 s + 7)))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.2.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.3.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s (32 s) + s \cdot 7))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + s \cdot 7))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.1.4

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.2.3.1.5.1.4.1

Bewege $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 (s \cdot s) + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 \cdot s))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 s))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2}) - (7 s))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.1.6

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - (7 s))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.1.7

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.5.2

Subtrahiere $32 s^{2}$ von $36 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (4 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.6

Faktorisiere $s$ aus $4 s^{2} - 7 s$ heraus.

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Schritt 4.5.2.3.1.6.1

Faktorisiere $s$ aus $4 s^{2}$ heraus.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) - 7 s)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.6.2

Faktorisiere $s$ aus $- 7 s$ heraus.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) + s \cdot - 7)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.6.3

Faktorisiere $s$ aus $s (4 s) + s \cdot - 7$ heraus.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s - 7))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 s (4 s - 7)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.7

Schreibe $4 s (4 s - 7)$ als $2^{2} (s (2^{2} s - 7))$ um.

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Schritt 4.5.2.3.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (4 s - 7)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} (s (2^{2} s - 7))}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$

Schritt 4.5.2.3.2

Vereinfache $\frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$ .

$t = \frac{6 s \pm \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Schritt 4.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$ wahr machen.

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$