Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{1}{5})}^{2} + \cos^{2} (t) = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\frac{1^{2}}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

Schritt 1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

Schritt 1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{25} + \cos^{2} (t) = 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{1}{25}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (t) = 1 - \frac{1}{25}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos^{2} (t) = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos^{2} (t) = \frac{25 - 1}{25}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$\cos^{2} (t) = \frac{24}{25}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (t) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{24}{25}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{24}{25}}$ als $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ um.

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $t$ aufzulösen.

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 7

Löse in $\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ nach $t$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

$t = 0.20135792$

Schritt 7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

Schritt 7.4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 7.4.1

Entferne die Klammern.

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

Schritt 7.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.20135792$ .

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Schritt 7.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = 6.2831853 - 0.20135792$

Schritt 7.4.2.2

Subtrahiere $0.20135792$ von $6.2831853$ .

$t = 6.08182738$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cos (t)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\cos (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Löse in $\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ nach $t$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

$t = 2.94023473$

Schritt 8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

Schritt 8.4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 8.4.1

Entferne die Klammern.

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

Schritt 8.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 2.94023473$ .

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Schritt 8.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = 6.2831853 - 2.94023473$

Schritt 8.4.2.2

Subtrahiere $2.94023473$ von $6.2831853$ .

$t = 3.34295057$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\cos (t)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Die Periode der Funktion $\cos (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $0.20135792 + 2 π n$ und $3.34295057 + 2 π n$ zu $0.20135792 + π n$ zusammen.

$t = 0.20135792 + π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.2

Führe $6.08182738 + 2 π n$ und $2.94023473 + 2 π n$ zu $2.94023473 + π n$ zusammen.

$t = 0.20135792 + π n, 2.94023473 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$