Elementarmathematik Beispiele

$\tan^{2} (a) - \tan (a) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \tan (a)$ . Ersetze $u$ für alle $\tan (a)$ .

$u^{2} - u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - u = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 1$ heraus.

$u (u - 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (a)$ .

$\tan (a) (\tan (a) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (a) = 0$

$\tan (a) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\tan (a)$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\tan (a)$ gleich $0$ .

$\tan (a) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\tan (a) = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$a = \arctan (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$a = 0$

Schritt 3.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$a = π + 0$

Schritt 3.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$a = π$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (a)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (a)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\tan (a) - 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (a) - 1$ gleich $0$ .

$\tan (a) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (a) - 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (a) = 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$a = \arctan (1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$a = \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$a = π + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 4.2.5.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$a = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (a)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (a)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (a) (\tan (a) - 1) = 0$ wahr machen.

$a = π n, π + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 6.1

Führe $π n$ und $π + π n$ zu $π n$ zusammen.

$a = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.2

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + π n$ zusammen.

$a = π n, \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$