Elementarmathematik Beispiele

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} - 16$ .

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 16$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um $\frac{A}{x - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.2

Um $\frac{B}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 4) (x + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{A}{x - 4}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{B}{x + 4}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 4)$ um.

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a x + b = \frac{A (x + 4) + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a x + b = \frac{A x + A \cdot 4 + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 \cdot A + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x + B \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.5.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $B$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)}$ mit $x^{2} - 16$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 16)}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 4^{2})}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.2.1.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.2.1.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 2.2.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.2.1.8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Schritt 2.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 2.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Schritt 2.2.1.8.2.2

Dividiere $A x + 4 A + B x - 4 B$ durch $1$ .

$a x + b = A x + 4 A + B x - 4 B$

Schritt 2.2.1.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.8.3.1

Stelle $A$ und $x$ um.

$a x + b = x A + 4 A + B x - 4 B$

Schritt 2.2.1.8.3.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$a x + b = x A + 4 A + x B - 4 B$

Schritt 2.2.1.8.3.3

Bewege $4 A$ .

$a x + b = x A + x B + 4 A - 4 B$

Schritt 3

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ durch $x$ .

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$a = A + B + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Schritt 3.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} - \frac{b}{x}$