Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 90 x - 24 y = - 153$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 90 x$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 90$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 90$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 45}{9}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 45$ und $9$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 45$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$d = - 5$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 90$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $8100$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $225$ .

$e = 0 - 225$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $225$ von $0$ .

$e = - 225$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 5)}^{2} - 225$ ein.

$9 {(x - 5)}^{2} - 225$

Schritt 1.2

Setze $9 {(x - 5)}^{2} - 225$ für $9 x^{2} - 90 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - 4 y^{2} - 90 x - 24 y = - 153$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 225 - 4 y^{2} - 24 y = - 153$

Schritt 1.3

Bringe $- 225$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $225$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = - 153 + 225$

Schritt 1.4

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 y^{2} - 24 y$ an.

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Schritt 1.4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Schritt 1.4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Schritt 1.4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $- 4$ .

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.4.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.4.2.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Schritt 1.4.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Schritt 1.4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Schritt 1.4.4.2.2

Addiere $0$ und $36$ .

$e = 36$

Schritt 1.4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ ein.

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Schritt 1.5

Setze $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ für $- 4 y^{2} - 24 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - 4 y^{2} - 90 x - 24 y = - 153$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = - 153 + 225$

Schritt 1.6

Bringe $36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = - 153 + 225 - 36$

Schritt 1.7

Vereinfache $- 153 + 225 - 36$ .

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Schritt 1.7.1

Addiere $- 153$ und $225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $36$ von $72$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Schritt 1.8

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 5)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 5$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(5, - 3)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Schritt 5.3.3

Addiere $4$ und $9$ .

$\sqrt{13}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(7, - 3)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 3)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(7, - 3), (3, - 3)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5 + \sqrt{13}, - 3)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5 - \sqrt{13}, - 3)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(5 + \sqrt{13}, - 3), (5 - \sqrt{13}, - 3)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Schritt 8.3.3

Addiere $4$ und $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 3$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 3$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 3$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 5) - 3$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 5 - 3$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 5 - 3$

Schritt 11.2.1.4

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 5$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 5}{2} - 3$

Schritt 11.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 15}{2} - 3$

Schritt 11.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{15}{2} - 3$

Schritt 11.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 15 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 15 - 6}{2}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $- 15$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 21}{2}$

Schritt 11.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{21}{2}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 3$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 3$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5) - 3$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 5 - 3$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 5 - 3$

Schritt 12.2.1.4

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot - 5$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 5 (\frac{3}{2}) - 3$

Schritt 12.2.1.4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 3}{2} - 3$

Schritt 12.2.1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{15}{2} - 3$

Schritt 12.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} - 3$

Schritt 12.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 - 6}{2}$

Schritt 12.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $15$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{21}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(5, - 3)$

Scheitelpunkte: $(7, - 3), (3, - 3)$

Brennpunkte: $(5 + \sqrt{13}, - 3), (5 - \sqrt{13}, - 3)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Fokaler Parameter: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{21}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 15