Elementarmathematik Beispiele

$- x^{2} + 2 x + 5$

Schritt 1

Schreibe $- x^{2} + 2 x + 5$ als Gleichung.

$y = - x^{2} + 2 x + 5$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - x^{2} + 2 x + 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} + 2 x + 5 = 0$ um.

$- x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 2$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 5)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{- 2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{- 2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{6}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{- 2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{6}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1 + \sqrt{6}, 0), (1 - \sqrt{6}, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 5$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 0^{2} + 2 (0) + 5$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 5$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $- {(0)}^{2} + 2 (0) + 5$ .

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 0 + 2 (0) + 5$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 2 (0) + 5$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 5$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1 + \sqrt{6}, 0), (1 - \sqrt{6}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 5