Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} - 4 x - 4$

Schritt 1

Schreibe $3 x^{2} - 4 x - 4$ als Gleichung.

$y = 3 x^{2} - 4 x - 4$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 x^{2} - 4 x - 4$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ um.

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{2}{3}, 0), (2, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 4$ .

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 4$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 4$

Schritt 3.2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$y = - 4$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{2}{3}, 0), (2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 5