Elementarmathematik Beispiele

$y = - 3 x^{2} + 6 x + 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 x^{2} + 6 x + 1$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = 6$

$c = 1$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 3)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{- 3}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $- 3$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{3 (1)}{- 3}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = 1 - \frac{36}{- 12}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 12$ .

$e = 1 - - 3$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$e = 1 + 3$

Schritt 1.1.4.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$e = 4$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(x - 1)}^{2} + 4$ ein.

$- 3 {(x - 1)}^{2} + 4$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 3 {(x - 1)}^{2} + 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$h = 1$

$k = 4$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, 4)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, \frac{47}{12})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 1$

Schritt 8