Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 2 x + 5$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} - 2 x + 5$ als Gleichung.

$y = x^{2} - 2 x + 5$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{2} - 2 x + 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ um.

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Schritt 2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + 2 i$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - 2 i$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 5$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{2} - 2 \cdot 0 + 5$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 5$

Schritt 3.2.3

Vereinfache ${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 5$ .

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 + 5$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 5$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 5