Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - x$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} - x$ als Gleichung.

$y = x^{3} - x$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} - x$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - x = 0$ um.

$x^{3} - x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - x = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.2.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} - (0)$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - (0)$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} - (0)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache ${(0)}^{3} - (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - (0)$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 5