Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 5 x + 5}{x - 2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{2 x^{2} - 5 x + 5}{x - 2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{2} - 5 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 5$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.3

Subtrahiere $40$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 1.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Schritt 1.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.3

Subtrahiere $40$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 1.2.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 1.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Schritt 1.2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.3

Subtrahiere $40$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 1.2.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 1.2.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 5}{(0) - 2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 + 5}{(0) - 2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 + 5}{0 - 2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 5}{(0) - 2}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\frac{2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 5}{(0) - 2}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 5}{0 - 2}$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = \frac{0 - 5 \cdot 0 + 5}{0 - 2}$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 5}{0 - 2}$

Schritt 2.2.4.1.4

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 + 5}{0 - 2}$

Schritt 2.2.4.1.5

Addiere $0$ und $5$ .

$y = \frac{5}{0 - 2}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.2.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = \frac{5}{- 2}$

Schritt 2.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{5}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{5}{2})$

Schritt 4