Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12 = 0$ um.

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12 = 0$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12 = 0$ mit $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x \cdot 4 - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 8 x - 12 \cdot 4 = 0 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$x^{2} - 8 x - 48 = 0 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$x^{2} - 8 x - 48 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x^{2} - 8 x - 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 48$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 12, 4$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 12) (x + 4) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 12 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 12$ gleich $0$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 1.2.7

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 12) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 12, - 4$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(12, 0), (- 4, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 12$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{4} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - 12$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 12$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 12$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 12$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 - 12$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 12$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 12$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$y = - 12$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 12)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(12, 0), (- 4, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 12)$

Schritt 4