Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ um.

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} + 15 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $15 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $u^{2} - 9 u + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 5, - 4$

Schritt 1.2.2.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.8

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.9

Faktorisiere $x^{2} - 5$ aus $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 1.2.2.9.1

Faktorisiere $x^{2} - 5$ aus $- 3 x (x^{2} - 5)$ heraus.

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.9.2

Faktorisiere $x^{2} - 5$ aus $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.9.3

Faktorisiere $x^{2} - 5$ aus $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ heraus.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.10

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.11

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.2.2.11.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.11.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.11.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.12.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.13

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.14

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.14.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.14.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 1.2.2.14.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.5

Vereinfache ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.5.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.5.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.5.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Schritt 2.2.5.1.6

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Schritt 2.2.5.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 20$

Schritt 2.2.5.2.4

Addiere $0$ und $20$ .

$y = 20$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 20)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 20)$

Schritt 4