Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 2 y = - x + 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- x + 1 = y^{2} - 2 y$ um.

$- x + 1 = y^{2} - 2 y$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = y^{2} - 2 y - 1$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = y^{2} - 2 y - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = y^{2} - 2 y - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$x = - y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x = - y^{2} - 1 \cdot (- 2 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 y)$ als $- (- 2 y)$ um.

$x = - y^{2} - (- 2 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = - y^{2} + 2 y + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.6

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = - y^{2} + 2 y + 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} + 2 y + 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 1 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 1 - - 1$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 1 + 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y - 1)}^{2} + 2$ ein.

$- {(y - 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Schritt 4