Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ gleich $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + 2 x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2$ heraus.

$x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 2 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 2 x + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 2.4.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i$

Schritt 2.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 2.4.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 2.4.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i$

Schritt 2.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i, 1 - i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 1 + i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 1 - i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 1 + i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 1 - i$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3