Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} e^{x} - 81 e^{x}$

Schritt 1

Setze $x^{2} e^{x} - 81 e^{x}$ gleich $0$ .

$x^{2} e^{x} - 81 e^{x} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} - 81 e^{x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} - 81 e^{x} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 81 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 81 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 81$ heraus.

$e^{x} (x^{2} - 81) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$e^{x} (x^{2} - 9^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$e^{x} ((x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{x} (x + 9) (x - 9) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 2.3

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.4

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 2.5

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x + 9) (x - 9) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = - 9$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 9$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 9$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 9$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3