Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = e^{8 x - 7} - 5^{x - 5}$

Schritt 1

Setze $e^{8 x - 7} - 5^{x - 5}$ gleich $0$ .

$e^{8 x - 7} - 5^{x - 5} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe $- 5^{x - 5}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$e^{8 x - 7} = 5^{x - 5}$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{8 x - 7}) = \ln (5^{x - 5})$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln (e^{8 x - 7})$ durch Herausziehen von $8 x - 7$ aus dem Logarithmus.

$(8 x - 7) \ln (e) = \ln (5^{x - 5})$

Schritt 2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(8 x - 7) \cdot 1 = \ln (5^{x - 5})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $8 x - 7$ mit $1$ .

$8 x - 7 = \ln (5^{x - 5})$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (5^{x - 5})$ durch Herausziehen von $x - 5$ aus dem Logarithmus.

$8 x - 7 = (x - 5) \ln (5)$

Schritt 2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x - 7 = x \ln (5) - 5 \ln (5)$

Schritt 2.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x \ln (5) + 5 \ln (5) = - 8 x + 7$

Schritt 2.7

Addiere $8 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (5) + 5 \ln (5) + 8 x = 7$

Schritt 2.8

Subtrahiere $5 \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (5) + 8 x = 7 - 5 \ln (5)$

Schritt 2.9

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5) + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (- 1 \ln (5)) + 8 x = 7 - 5 \ln (5)$

Schritt 2.9.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$x (- 1 \ln (5)) + x \cdot 8 = 7 - 5 \ln (5)$

Schritt 2.9.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (5)) + x \cdot 8$ heraus.

$x (- 1 \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$

Schritt 2.10

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$

Schritt 2.11

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$ durch $- \ln (5) + 8$ und vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$ durch $- \ln (5) + 8$ .

$\frac{x (- \ln (5) + 8)}{- \ln (5) + 8} = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (5) + 8$ .

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Schritt 2.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (5) + 8)}{- \ln (5) + 8} = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Schritt 2.11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.11.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Schritt 2.11.3.3

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) - 1 (- 8)}$

Schritt 2.11.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5) - 1 (- 8)$ heraus.

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- (\ln (5) - 8)}$

Schritt 2.11.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 2.11.3.5.1

Schreibe $- (\ln (5) - 8)$ als $- 1 (\ln (5) - 8)$ um.

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- 1 (\ln (5) - 8)}$

Schritt 2.11.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 - 5 \ln (5)}{\ln (5) - 8}$

$x = - \frac{7 - 5 \ln (5)}{\ln (5) - 8}$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3