Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 6 x + y + 8 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x + y + 8 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 8 = - x^{2} + 6 x$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x^{2} + 6 x - 8$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 6 x - 8$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 6$

$c = - 8$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 8 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = - 8 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 8 - \frac{36}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = - 8 - - 9$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = - 8 + 9$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 8$ und $9$ .

$e = 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 3)}^{2} + 1$ ein.

$- {(x - 3)}^{2} + 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - 3)}^{2} + 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 1)$

Schritt 4