Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 6 y = - x + 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- x + 4 = y^{2} - 6 y$ um.

$- x + 4 = y^{2} - 6 y$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = y^{2} - 6 y - 4$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = y^{2} - 6 y - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = y^{2} - 6 y - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 6 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 6 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 6 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 6 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$x = - y^{2} + \frac{- 6 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 6 y}{- 1}$ .

$x = - y^{2} - 1 \cdot (- 6 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 6 y)$ als $- (- 6 y)$ um.

$x = - y^{2} - (- 6 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$x = - y^{2} + 6 y + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.6

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = - y^{2} + 6 y + 4$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} + 6 y + 4$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 4$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 4 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 4 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 4 - \frac{36}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = 4 - - 9$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = 4 + 9$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $4$ und $9$ .

$e = 13$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y - 3)}^{2} + 13$ ein.

$- {(y - 3)}^{2} + 13$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - {(y - 3)}^{2} + 13$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 13$

$k = 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(13, 3)$

Schritt 4