Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} = 5 (x + 2 y)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $5 (x + 2 y) = y^{2}$ um.

$5 (x + 2 y) = y^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 (x + 2 y) = y^{2}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (x + 2 y) = y^{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 (x + 2 y)}{5} = \frac{y^{2}}{5}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x + 2 y)}{5} = \frac{y^{2}}{5}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x + 2 y$ durch $1$ .

$x + 2 y = \frac{y^{2}}{5}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{y^{2}}{5} - 2 y$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{5} - 2 y$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{5}$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = - 5$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{4}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (4 (\frac{5}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (4 (\frac{5}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$e = 0 - 5$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$e = - 5$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{5} {(y - 5)}^{2} - 5$ ein.

$\frac{1}{5} {(y - 5)}^{2} - 5$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y - 5)}^{2} - 5$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 5$

$k = 5$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, 5)$

Schritt 4