Elementarmathematik Beispiele

${(x - 4)}^{2} = - 12 (y - 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 12 (y - 1) = {(x - 4)}^{2}$ um.

$- 12 (y - 1) = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 12 (y - 1) = {(x - 4)}^{2}$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 (y - 1) = {(x - 4)}^{2}$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 (y - 1)}{- 12} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 (y - 1)}{- 12} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y - 1$ durch $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 1 = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + 1$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 4)}^{2} + 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{1}{12} \cdot {(x - 4)}^{2} + 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$- \frac{1}{12} \cdot ((x - 4) (x - 4)) + 1$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} \cdot (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + 1$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} x^{2} - \frac{1}{12} (- 8 x) - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{12} (- 8 x) - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{12}$ in den Zähler.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (- 8 x) - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 (3)} (- 8 x) - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 (3)} (4 (- 2 x)) - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} (4 (- 2 x)) - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{3} (- 2 x) - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 2 \cdot - 1}{3} x - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} - \frac{1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{12}$ in den Zähler.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{12} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.6.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{4 (3)} \cdot 16 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.6.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.6.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.7

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $4$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 4}{3} + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

Schritt 1.2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 1$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3}{3}$

Schritt 1.2.1.4

Addiere $- 4$ und $3$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{- \frac{1}{12}}$ .

$d = \frac{1}{3 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = \frac{1}{- 3 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{\frac{- 3}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{3 (- 1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 (\frac{4}{- 1})$

Schritt 1.2.4.2.8

Mutltipliziere $\frac{4}{- 1}$ mit $1$ .

$d = \frac{4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.9

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$d = - 4$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{1}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = - \frac{1}{3} - (\frac{4}{3 (3)} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 1 \cdot 3$ heraus.

$e = - \frac{1}{3} - (\frac{4}{3 (3)} (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{1}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{1}{3} - (\frac{4}{3} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$e = - \frac{1}{3} - \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{1}{3} - \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{1}{3} - - \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.1.9

Multipliziere $- - \frac{4}{3}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{1}{3} + 1 (\frac{4}{3})$

Schritt 1.2.5.2.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$e = - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 1 + 4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Addiere $- 1$ und $4$ .

$e = \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$e = 1$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{12} {(x - 4)}^{2} + 1$ ein.

$- \frac{1}{12} {(x - 4)}^{2} + 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 4)}^{2} + 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 4$

$k = 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Schritt 4