Elementarmathematik Beispiele

${(x - 3)}^{2} = 16 (y + 2)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $16 (y + 2) = {(x - 3)}^{2}$ um.

$16 (y + 2) = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $16 (y + 2) = {(x - 3)}^{2}$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (y + 2) = {(x - 3)}^{2}$ durch $16$ .

$\frac{16 (y + 2)}{16} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (y + 2)}{16} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y + 2$ durch $1$ .

$y + 2 = \frac{{(x - 3)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - 2$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{16} \cdot {(x - 3)}^{2} - 2$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{16} \cdot {(x - 3)}^{2} - 2$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$\frac{1}{16} \cdot ((x - 3) (x - 3)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} - 6 x + 9) - 2$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} x^{2} + \frac{1}{16} (- 6 x) + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{16} (- 6 x) + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (- 6 x) + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{2 \cdot 8} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{8} (- 3 x) + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{- 3}{8} x + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kombiniere $\frac{- 3}{8}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{- 3 x}{8} + \frac{1}{16} \cdot 9 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $9$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{- 3 x}{8} + \frac{9}{16} - 2$

Schritt 1.2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{3 x}{8} + \frac{9}{16} - 2$

Schritt 1.2.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{3 x}{8} + \frac{9}{16} - 2 \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{16}{16}$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{3 x}{8} + \frac{9}{16} + \frac{- 2 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{3 x}{8} + \frac{9 - 2 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{3 x}{8} + \frac{9 - 32}{16}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{3 x}{8} + \frac{- 23}{16}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{3 x}{8} - \frac{23}{16}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{16}$

$b = - \frac{3}{8}$

$c = - \frac{23}{16}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{3}{8}}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{16}$ .

$d = - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{16}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{16}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{3}{8} (1 \cdot 8)$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{8}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 3}{8} (1 \cdot 8)$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Faktorisiere $8$ aus $1 \cdot 8$ heraus.

$d = \frac{- 3}{8} (8 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 3}{8} (8 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 3$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{{(- \frac{3}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{8}$ an.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{23}{16} - \frac{1 {(\frac{3}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{8}$ an.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{1 \frac{3^{2}}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{23}{16} - \frac{1 \frac{9}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = - \frac{23}{16} - \frac{1 (\frac{9}{64})}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{64}$ mit $1$ .

$e = - \frac{23}{16} - \frac{\frac{9}{64}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{16}$ .

$e = - \frac{23}{16} - \frac{\frac{9}{64}}{\frac{4}{16}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{\frac{9}{64}}{\frac{4 (1)}{16}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{\frac{9}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{\frac{9}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{\frac{9}{64}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{23}{16} - (\frac{9}{64} \cdot 4)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$e = - \frac{23}{16} - (\frac{9}{4 (16)} \cdot 4)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{23}{16} - (\frac{9}{4 \cdot 16} \cdot 4)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{23}{16} - \frac{9}{16}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 23 - 9}{16}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $9$ von $- 23$ .

$e = \frac{- 32}{16}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 32$ durch $16$ .

$e = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{16} {(x - 3)}^{2} - 2$ ein.

$\frac{1}{16} {(x - 3)}^{2} - 2$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{16} \cdot {(x - 3)}^{2} - 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{16}$

$h = 3$

$k = - 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, - 2)$

Schritt 4