Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 6 x + 4 y + 5 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x + 4 y + 5 = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y + 5 = - x^{2} - 6 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - x^{2} - 6 x - 5$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - x^{2} - 6 x - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - x^{2} - 6 x - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{(3) x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{2}$

$c = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{3}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Schritt 1.2.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $1 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{5}{4} - \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$e = - \frac{5}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{9}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{1 (\frac{9}{4})}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{9}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{5}{4} - (- 1 \cdot \frac{9}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Schreibe $- 1 \cdot \frac{9}{4}$ als $- \frac{9}{4}$ um.

$e = - \frac{5}{4} - - \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Multipliziere $- - \frac{9}{4}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{5}{4} + 1 (\frac{9}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$e = - \frac{5}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 5 + 9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Addiere $- 5$ und $9$ .

$e = \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$ ein.

$- \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} + 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = 1$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 3, 0)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 3$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 2$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 1)$

Brennpunkt: $(- 3, 0)$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = 2$

Schritt 10