Elementarmathematik Beispiele

$(\sqrt{125}, \sqrt{20})$ , $(7, 2 \sqrt{5})$

Schritt 1

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$(\sqrt{25 (5)}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Schritt 1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(\sqrt{5^{2} \cdot 5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Schritt 2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Schritt 3

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{4 (5)}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Schritt 3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{2^{2} \cdot 5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Schritt 4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(5 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Schritt 5

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 6

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$\sqrt{{(7 - 5 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe ${(7 - 5 \sqrt{5})}^{2}$ als $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ um.

$\sqrt{(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{7 (7 - 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\sqrt{49 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4

Multipliziere $- 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$ .

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Schritt 7.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \sqrt{5} \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.6

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 125 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.2

Addiere $49$ und $125$ .

$\sqrt{174 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.3.3

Subtrahiere $35 \sqrt{5}$ von $- 35 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 7.4

Subtrahiere $2 \sqrt{5}$ von $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0^{2}}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0}$

Schritt 7.5.2

Addiere $174 - 70 \sqrt{5}$ und $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Dezimalform:

$4.18033988 \dots$

Schritt 9