Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite $\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{1}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Dividiere ${(x + 2)}^{2}$ durch $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - {(x + 2)}^{2} = 1$

Schritt 1.1.2

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - ((x + 2) (x + 2)) = 1$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - (x (x + 2) + 2 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.1.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.1.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) = 1$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - (x^{2} + 4 x + 4) = 1$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4 = 1$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4 = 1$

Schritt 1.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - x^{2} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.2

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} + \frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y - 3)}^{2} - x^{2} \cdot 9}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $x^{2} \cdot 9$ als ${(x \cdot 3)}^{2}$ um.

$\frac{{(y - 3)}^{2} - {(x \cdot 3)}^{2}}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y - 3$ und $b = x \cdot 3$ .

$\frac{(y - 3 + x \cdot 3) (y - 3 - (x \cdot 3))}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.4.3

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(y - 3 + 3 \cdot x) (y - 3 - (x \cdot 3))}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(y - 3 + 3 x) (y - 3 - (3 \cdot x))}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(y - 3 + 3 x) (y - 3 - 3 x)}{9} - 4 x - 4 = 1$

Schritt 1.5

Um $- 4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{(y - 3 + 3 x) (y - 3 - 3 x)}{9} - 4 x \cdot \frac{9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $- 4 x$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{(y - 3 + 3 x) (y - 3 - 3 x)}{9} + \frac{- 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(y - 3 + 3 x) (y - 3 - 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Multipliziere $(y - 3 + 3 x) (y - 3 - 3 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + y (- 3 x) - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x) + 3 x y + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \cdot y + y \cdot - 3 + y (- 3 x) - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x) + 3 x y + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x)$ .

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Schritt 1.7.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y (- 3 x)$ und $3 x y$ neu an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 x y - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x) + 3 x y + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.2.2

Addiere $- 3 x y$ und $3 x y$ .

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x) + 0 + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.2.3

Addiere $y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x)$ und $0$ .

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x) + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x) + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3 - 3 (- 3 x) + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 - 3 (- 3 x) + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 9 x + 3 x \cdot - 3 + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 9 x - 9 x + 3 x (- 3 x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 9 x - 9 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.3.7.1

Bewege $x$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 9 x - 9 x + 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 9 x - 9 x + 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 9 x - 9 x - 9 x^{2} - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 9 x - 9 x - 9 x^{2}$ .

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Schritt 1.7.4.1

Subtrahiere $9 x$ von $9 x$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 + 0 - 9 x^{2} - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $y^{2} - 3 y - 3 y + 9$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 3 y + 9 - 9 x^{2} - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.5

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + 9 - 9 x^{2} - 4 x \cdot 9}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.7.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + 9 - 9 x^{2} - 36 x}{9} - 4 = 1$

Schritt 1.8

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + 9 - 9 x^{2} - 36 x}{9} - 4 \cdot \frac{9}{9} = 1$

Schritt 1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.9.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + 9 - 9 x^{2} - 36 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 9}{9} = 1$

Schritt 1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2} - 6 y + 9 - 9 x^{2} - 36 x - 4 \cdot 9}{9} = 1$

Schritt 1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + 9 - 9 x^{2} - 36 x - 36}{9} = 1$

Schritt 1.10.2

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 9 x^{2} - 36 x - 27}{9} = 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $9$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 9 x^{2} - 36 x - 27}{9} \cdot 9 = 1 \cdot 9$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{y^{2} - 6 y - 9 x^{2} - 36 x - 27}{9} \cdot 9$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} - 6 y - 9 x^{2} - 36 x - 27}{9} \cdot 9 = 1 \cdot 9$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - 6 y - 9 x^{2} - 36 x - 27 = 1 \cdot 9$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1.2.1

Bewege $- 6 y$ .

$y^{2} - 9 x^{2} - 36 x - 6 y - 27 = 1 \cdot 9$

Schritt 3.1.1.2.2

Stelle $y^{2}$ und $- 9 x^{2}$ um.

$- 9 x^{2} + y^{2} - 36 x - 6 y - 27 = 1 \cdot 9$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- 9 x^{2} + y^{2} - 36 x - 6 y - 27 = 9$

Schritt 4

Setze die Gleichung gleich null.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x^{2} + y^{2} - 36 x - 6 y - 27 - 9 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $9$ von $- 27$ .

$- 9 x^{2} + y^{2} - 36 x - 6 y - 36 = 0$