Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite $\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1

Um $- \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Schritt 1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = 1$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Schreibe ${(y + 3)}^{2} \cdot 4$ als ${((y + 3) \cdot 2)}^{2}$ um.

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {((y + 3) \cdot 2)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x - 4$ und $b = (y + 3) \cdot 2$ .

$\frac{(x - 4 + (y + 3) \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 4 + y \cdot 2 + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 6) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $- 4$ und $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (y \cdot 2 + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 6))}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 y) - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 6)}{16} = 1$

Schritt 1.4.3.11

Subtrahiere $6$ von $- 4$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} = 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $16$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10) = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere $(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10$ .

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Schritt 3.1.1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x (- 2 y)$ und $2 y x$ neu an.

$x \cdot x - 2 x y + x \cdot - 10 + 2 x y + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.1.2

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 0 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.1.3

Addiere $x \cdot x + x \cdot - 10$ und $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 10 \cdot x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.2.4.1

Bewege $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.1.3.3.1

Addiere $- 10 x$ und $2 x$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 20 y - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.3.2

Subtrahiere $4 y$ von $- 20 y$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.1.1.3.3.3

Bewege $- 8 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 16$

Schritt 4

Setze die Gleichung gleich null.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 - 16 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $16$ von $- 20$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 36 = 0$