Elementarmathematik Beispiele

$x = e^{4 t}$ , $y = e^{- t}$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = e^{4 t}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $e^{4 t} = x$ um.

$e^{4 t} = x$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{4 t}) = \ln (x)$

Schritt 4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.1

Zerlege $\ln (e^{4 t})$ durch Herausziehen von $4 t$ aus dem Logarithmus.

$4 t \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$4 t \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 t = \ln (x)$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 t = \ln (x)$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 t = \ln (x)$ durch $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (x)}{4}$

Schritt 6

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$

Schritt 7

Vereinfache $e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{4}$ als $\frac{1}{4} \ln (x)$ um.

$y = e^{- (\frac{1}{4} \ln (x))}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{- \ln (x^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 7.3

Vereinfache $- \ln (x^{\frac{1}{4}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})}$

Schritt 7.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y = {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$

Schritt 7.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

Schritt 7.5.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$y = x^{\frac{- 1}{4}}$

Schritt 7.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = x^{- \frac{1}{4}}$

Schritt 7.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$