Elementarmathematik Beispiele

${(4 a - b)}^{3}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(4 a - b)}^{3}$ gilt $n = 3$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $4$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $4 a$ und $b$ $- b$ in den Ausdruck ein.

$1 {(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(4 a)}^{3}$ mit $1$ .

${(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $4 a$ an.

$4^{3} a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

$64 a^{3} ({(- 1)}^{0} b^{0}) + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 \cdot 1 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$64 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 a^{3} \cdot 1 + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$64 a^{3} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $4 a$ an.

$64 a^{3} + 3 (4^{2} a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 a^{3} + 3 (16 a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$64 a^{3} + 48 a^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

$64 a^{3} + 48 a^{2} (- b) + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$64 a^{3} + 48 \cdot - 1 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $48$ mit $- 1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 (4 a) {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.18

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.19

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.20

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot 1 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(4 a)}^{0}$ mit $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $4 a$ an.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 4^{0} a^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.24

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 a^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $a^{0}$ mit $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + a^{0} {(- b)}^{3}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(- b)}^{3}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere ${(- b)}^{3}$ mit $1$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- b)}^{3}$

Schritt 4.28

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}$

Schritt 4.29

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} - b^{3}$