Elementarmathematik Beispiele

${(3 x + y^{2})}^{5}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(3 x + y^{2})}^{5}$ gilt $n = 5$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $6$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $3 x$ und $b$ $y^{2}$ in den Ausdruck ein.

$1 {(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(3 x)}^{5}$ mit $1$ .

${(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$3^{5} x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $5$ .

$243 x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} y^{2 \cdot 0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $243$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.8

Potenziere $3$ mit $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $81$ mit $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.10

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{1}$ .

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Schritt 4.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2 \cdot 1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (3^{3} x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.12

Potenziere $3$ mit $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (27 x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $27$ mit $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.14

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.14.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{2 \cdot 2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (3^{2} x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.16

Potenziere $3$ mit $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (9 x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.18

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{2 \cdot 3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.19

Vereinfache.

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 (3 x) {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.21

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{4}$ .

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Schritt 4.21.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{2 \cdot 4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.21.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(3 x)}^{0}$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 3^{0} x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.24

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere ${(y^{2})}^{5}$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(y^{2})}^{5}$

Schritt 4.28

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{5}$ .

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Schritt 4.28.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{2 \cdot 5}$

Schritt 4.28.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{10}$