Elementarmathematik Beispiele

${(3 x + 1)}^{5}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(3 x + 1)}^{5}$ gilt $n = 5$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $6$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $3 x$ und $b$ $1$ in den Ausdruck ein.

$1 {(3 x)}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Bewege ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere ${(1)}^{0}$ mit $1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{0 + 1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1^{1} {(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{1} {(3 x)}^{5}$ .

${(3 x)}^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$3^{5} x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.6

Potenziere $3$ mit $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $81$ mit $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(1)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.8

Berechne den Exponenten.

$243 x^{5} + 405 x^{4} \cdot 1 + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $405$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 {(3 x)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 (3^{3} x^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.11

Potenziere $3$ mit $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 10 (27 x^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $27$ mit $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} {(1)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} \cdot 1 + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $270$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 {(3 x)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (3^{2} x^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.16

Potenziere $3$ mit $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 10 (9 x^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} {(1)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $90$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 5 {(3 x)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.20

Vereinfache.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 5 (3 x) {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x {(1)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.22

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x \cdot 1 + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1 {(3 x)}^{0} {(1)}^{5}$

Schritt 4.24

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.24.1

Bewege ${(1)}^{5}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + {(1)}^{5} \cdot 1 {(3 x)}^{0}$

Schritt 4.24.2

Mutltipliziere ${(1)}^{5}$ mit $1$ .

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Schritt 4.24.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(3 x)}^{0}$

Schritt 4.24.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{5 + 1} {(3 x)}^{0}$

Schritt 4.24.3

Addiere $5$ und $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{6} {(3 x)}^{0}$

Schritt 4.25

Vereinfache $1^{6} {(3 x)}^{0}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1^{6}$

Schritt 4.26

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1$