Elementarmathematik Beispiele

${(x + \frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x + \frac{3}{x})}^{4}$ gilt $n = 4$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $5$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $\frac{3}{x}$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{4} {(\frac{3}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{4}$ mit $1$ .

${(x)}^{4} {(\frac{3}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x}$ an.

$x^{4} \frac{3^{0}}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} \frac{1}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} \frac{1}{1} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.7

Vereinfache.

$x^{4} + 4 x^{3} \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 4 x^{2} \cdot 3 + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x}$ an.

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{2} \frac{3^{2}}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{2} \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + 12 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + 12 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 \cdot 9 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.14

Vereinfache.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x}$ an.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x \frac{3^{3}}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.16

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x \frac{27}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.17.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.17.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.17.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 \frac{27}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.18

Kombiniere $4$ und $\frac{27}{x^{2}}$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{4 \cdot 27}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.21

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + 1 {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(\frac{3}{x})}^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + {(\frac{3}{x})}^{4}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x}$ an.

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + \frac{3^{4}}{x^{4}}$

Schritt 4.24

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + \frac{81}{x^{4}}$