Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \leq 1$

Schritt 2.5

Schreibe $| x | \leq 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 1$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 1$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 1$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Schritt 2.7

Löse $- x \leq 1$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x \geq - 1$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 1$ und $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 \leq x \leq 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 1$

Schritt 4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 4.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 4.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 4.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 4.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 1, 1)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 1 < x < 1}$

Schritt 6