Elementarmathematik Beispiele

$3 y^{2} - x - 2 y + 1 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} - 2 y + 1 = x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} - 2 y = x - 1$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = - 2$

$c = 0 = x - 1$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = x - 1$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{4}{12}$

Schritt 2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 (1)}{12}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3}$ ein.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} = x - 1$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 + \frac{1}{3}$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 3 + 1}{3}$

Schritt 3.5.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ durch $1$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{9}$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

Schritt 5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{2}{9}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{9} - \frac{2}{9}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3 - 2}{9}$

Schritt 5.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{3 x - 2}{9}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} (3 x - 2)$